ЕГЭ задание 1 (базовый уровень)

Задание 1. Знания о системах счисления и двоичном представлении информации в памяти компьютера (базовый уровень, 1 балл, время – 1 мин)

Знать:

  • в двоичной системе:
    • четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;
    • числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей
    • если число N принадлежит интервалу 2k-1  <N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125: 26 = 64 < 125 < 128 = 27,    125 = 11111012  (7 цифр)
    • числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например: 16 = 24 = 100002
    • числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например: 15 = 24-1 = 1111
    • если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
      15 = 11112,     30 = 111102,         60 = 1111002,       120 = 11110002
  • перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления
  • желательно выучить наизусть таблицу двоичного представления чисел 0-7 в виде триад (групп из 3-х битов) и таблицу двоичного представления чисел 0-15 (в шестнадцатеричной системе – 0-F16) в виде тетрад (групп из 4-х битов)
  • отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде
  • для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:
    • перевести число a-1 в двоичную систему счисления;
    • сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки.

Пример задания:

П-1. Сколько су­ще­ству­ет на­ту­раль­ных чисел x, для которых вы­пол­не­но не­ра­вен­ство 110111002 < x < DF16?

В от­ве­те укажите только ко­ли­че­ство чисел, сами числа писать не нужно.

Реше­ние:

  • для решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 15, поскольку для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему можно достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных (тетрады):
  • DF16= 1101 11112.
  • Между чис­ла­ми 1101 1100 и 1101 1111 лежит два на­ту­раль­ных числа.
  • Ответ: 2.

П-2. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 517?

Решение:

  • проще всего представить заданное число в виде суммы степеней числа 2:

517 = 512 + 5 = 29 + 4 + 1 = 29 + 22 + 1 = 29 + 22 + 20

  • количество единиц в двоичной записи числа равно количеству слагаемых в таком разложении
  • Ответ: 3

П-3. Даны 4 целых числа, за­пи­сан­ных в различных системах счисления: 3110, F116, 2618, 7118. Сколько среди них чисел, двоичная запись которых содержит ровно 5 единиц?

Решение:

  • Представим все числа в двоичной системе счисления.
  • 3110= 1 11112. (единиц)
  • F116= 1111 00012. (единиц)
  • 2618= 1011 00012. (единицы)
  • 7118= 1 1100 10012. (единиц)
  • Ответ: 3

П-4. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-75)?

Решение:

  • переводим число 75 в двоичную систему счисления:

75 = 64 + 8 + 2 + 1 = 26 + 23 + 21 + 20 = 10010112

  • по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
  • чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

75 = 010010112

  • делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010010112     →    101101002

  • добавляем к результату единицу

101101002  + 1 = 10110101это и есть число (-75) в двоичном дополнительно коде

  • в записи этого числа 5 единиц
  • Ответ: 5