ЕГЭ задание 1 (базовый уровень)

Задание 1. Знания о системах счисления и двоичном представлении информации в памяти компьютера (базовый уровень, 1 балл, время – 1 мин)

Знать:

• в двоичной системе:
  • четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;
  • числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2^k, оканчиваются на k нулей
  • если число N принадлежит интервалу 2^k-1  <N < 2^k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125: 2⁶ = 64 < 125 < 128 = 2⁷,    125 = 1111101₂  (7 цифр)
  • числа вида 2^k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например: 16 = 2⁴ = 10000₂
  • числа вида 2^k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например: 15 = 2⁴-1 = 1111₂ 
  • если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
    15 = 1111₂,     30 = 11110₂,         60 = 111100₂,       120 = 1111000₂
• перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления
• желательно выучить наизусть таблицу двоичного представления чисел 0-7 в виде триад (групп из 3-х битов) и таблицу двоичного представления чисел 0-15 (в шестнадцатеричной системе – 0-F₁₆) в виде тетрад (групп из 4-х битов)
• отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде
• для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:
  • перевести число a-1 в двоичную систему счисления;
  • сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки.

Пример задания:

П-1. Сколько су­ще­ству­ет на­ту­раль­ных чисел x, для которых вы­пол­не­но не­ра­вен­ство 11011100₂ < x < DF₁₆?

В от­ве­те укажите только ко­ли­че­ство чисел, сами числа писать не нужно.

Реше­ние:

• для решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 15, поскольку для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему можно достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных (тетрады):
• DF₁₆= 1101 1111₂.
• Между чис­ла­ми 1101 1100 и 1101 1111 лежит два на­ту­раль­ных числа.
• Ответ: 2.

П-2. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 517?

Решение:

• проще всего представить заданное число в виде суммы степеней числа 2:

517 = 512 + 5 = 2⁹ + 4 + 1 = 2⁹ + 2² + 1 = 2⁹ + 2² + 2⁰

• количество единиц в двоичной записи числа равно количеству слагаемых в таком разложении
• Ответ: 3

П-3. Даны 4 целых числа, за­пи­сан­ных в различных системах счисления: 31₁₀, F1₁₆, 261₈, 711₈. Сколько среди них чисел, двоичная запись которых содержит ровно 5 единиц?

Решение:

• Представим все числа в двоичной системе счисления.
• 31₁₀= 1 1111₂. (5 единиц)
• F1₁₆= 1111 0001₂. (5 единиц)
• 261₈= 1011 0001₂. (4 единицы)
• 711₈= 1 1100 1001₂. (5 единиц)
• Ответ: 3

П-4. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-75)?

Решение:

• переводим число 75 в двоичную систему счисления:

75 = 64 + 8 + 2 + 1 = 2⁶ + 2³ + 2¹ + 2⁰ = 1001011₂

• по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
• чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

75 = 01001011₂

• делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

01001011₂     →    10110100₂

• добавляем к результату единицу

10110100₂  + 1 = 10110101₂ это и есть число (-75) в двоичном дополнительно коде

• в записи этого числа 5 единиц
• Ответ: 5