Задание 1. Знания о системах счисления и двоичном представлении информации в памяти компьютера (базовый уровень, 1 балл, время – 1 мин)
Знать:
- в двоичной системе:
- четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;
- числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей
- если число N принадлежит интервалу 2k-1 <N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125: 26 = 64 < 125 < 128 = 27, 125 = 11111012 (7 цифр)
- числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например: 16 = 24 = 100002
- числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например: 15 = 24-1 = 11112
- если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002
- перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления
- желательно выучить наизусть таблицу двоичного представления чисел 0-7 в виде триад (групп из 3-х битов) и таблицу двоичного представления чисел 0-15 (в шестнадцатеричной системе – 0-F16) в виде тетрад (групп из 4-х битов)
- отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде
- для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:
- перевести число a-1 в двоичную систему счисления;
- сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки.
Пример задания:
П-1. Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполнено неравенство 110111002 < x < DF16?
В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.
Решение:
- для решения достаточно знать двоичные коды чисел от 1 до 15, поскольку для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему можно достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных (тетрады):
- DF16= 1101 11112.
- Между числами 1101 1100 и 1101 1111 лежит два натуральных числа.
- Ответ: 2.
П-2. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 517?
Решение:
- проще всего представить заданное число в виде суммы степеней числа 2:
517 = 512 + 5 = 29 + 4 + 1 = 29 + 22 + 1 = 29 + 22 + 20
- количество единиц в двоичной записи числа равно количеству слагаемых в таком разложении
- Ответ: 3
П-3. Даны 4 целых числа, записанных в различных системах счисления: 3110, F116, 2618, 7118. Сколько среди них чисел, двоичная запись которых содержит ровно 5 единиц?
Решение:
- Представим все числа в двоичной системе счисления.
- 3110= 1 11112. (5 единиц)
- F116= 1111 00012. (5 единиц)
- 2618= 1011 00012. (4 единицы)
- 7118= 1 1100 10012. (5 единиц)
- Ответ: 3
П-4. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-75)?
Решение:
- переводим число 75 в двоичную систему счисления:
75 = 64 + 8 + 2 + 1 = 26 + 23 + 21 + 20 = 10010112
- по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
- чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:
75 = 010010112
- делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):
010010112 → 101101002
- добавляем к результату единицу
101101002 + 1 = 101101012 это и есть число (-75) в двоичном дополнительно коде
- в записи этого числа 5 единиц
- Ответ: 5